Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) – первообраз-ная функции f (x) на[a, b], то

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, 2-мя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функцииf (x) (набросок 1), определяется по формуле

Рис.1 Рис.2

Пусть F (x) и G (x Формула Ньютона-Лейбница) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной 2-мя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (набросок 2), определяется формулой

Подмена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл переменной x можно Формула Ньютона-Лейбница конвертировать в определенный интеграл относительно переменной t при помощи подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g -1 - оборотная функция к g, т.е. t = g -1(x).

Интегрирование по частям для определенного интеграла

В данном случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где значит разность значений произведения функций Формула Ньютона-Лейбница uv при x = b и x = a.

Пример 1. Вычислить интеграл .


Решение.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

Пример 2. Вычислить интеграл .


Решение.

Пример 3. Вычислить интеграл .


Решение.

Создадим подмену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новейшую переменную t просто рассчитывается:

Пример 4. Вычислить интеграл Формула Ньютона-Лейбница .


Решение.

Запишем интеграл в виде

Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет

Как следует, интеграл равен

Пример 5. Отыскать площадь фигуры, ограниченной кривыми и .


Решение.

Построим графики кривых.

Определим точки скрещения 2-ух кривых:

Таким макаром, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Как следует, площадь фигуры равна

Пример 6. Отыскать площадь фигуры, ограниченную Формула Ньютона-Лейбница графиками функций и .


Решение.

Найдем координаты точек скрещения кривых .

Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Как следует, площадь этой области равна

Приложения

Практическая работа №1 «Решение систем линейных уравнений способом оборотной матрицы, Крамера, Гаусса. Деяния с всеохватывающими числами.»

№№ 1-20. Решите систему линейных уравнений 3-мя методами:

1) способом Крамера,

2) способом Гаусса,

3) способом оборотной матрицы (матричным Формула Ньютона-Лейбница способом).

Практическая работа №2 «Вычисление пределов функции. Применение производной к исследованию функции..»

2№№ 21-40. Вычислите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

a)

№№ 41-60. Найдите производные функций.

№№61-80. Изучить функции способами дифференциального исчисления и выстроить их графики.

2

Практическая работа № 3 «Неопределенный интеграл .Способы нахождения неопределенного интеграла. Определенный интеграл.Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач.»

№№ 81-100. Найдите Формула Ньютона-Лейбница неопределенные интегралы.

б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)

№№ 101-120. Вычислите определенные интегралы.

а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а Формула Ньютона-Лейбница) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)

№№121-126. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. Постройте графики.

и и
и и
и и

127. Вычислите площадь фигуры, ограниченную одной волной синусоиды . Постройте график.

128. Вычислите площадь фигуры, ограниченную одной волной косинусоиды . Постройте график.

129. Вычислите площадь фигуры Формула Ньютона-Лейбница, ограниченную линиями: у=tgx, y=0,x=0, . Постройте графики.

№№130-140. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. Постройте графики.

130. и 135. и
131. и 136. , и
132. и 137. , х=0, х=5 и у=0
133. и 138. , х=0, у=0 и х=3
134. и 139. , и у=0
140. и у=0

Практическая работа №4 «Элементы теории вероятностей. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон рассредотачивания случайной величины Формула Ньютона-Лейбница. По данному условию выстроить закон рассредотачивания дискретной случайной величины»

№141-179. Задачки комбинаторики

Задачка 141.В группе 30 студентов. Нужно избрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует методов это сделать?

Задачка142.Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими методами они могут распределить работу?

Задачка 143.В ящике 100 деталей, из их 30 – деталей 1-го сорта Формула Ньютона-Лейбница, 50 – 2-го, другие – 3-го. Сколько существует методов извлечения из ящика одной детали 1-го либо 2-го сорта?

Задачка 144. Компания имеет три источника поставки девайсов – компании А, B, С. На долю компании А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики понятно, что посреди поставляемых компанией А деталей 10% бракованных, компанией В – 5% и Формула Ньютона-Лейбница компанией С – 6%. Какова возможность, что взятая наобум деталь окажется пригодной?

Задачка 145. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько разных вариантов жеребьевки при всем этом может быть?

Задачка 146. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов рассредотачивания призов, если по всем номинациям установлены разные премии?

Задачка 147.В шахматном Формула Ньютона-Лейбница турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если меж хоть какими 2-мя участниками должна быть сыграна одна партия?

Задачка 148.В критериях задачки 6 найти, сколько существует вариантов рассредотачивания призов, если по всем номинациям установлены однообразные призы?

Задачка 149. Садовник должен в течении 3-х дней высадить 6 деревьев Формула Ньютона-Лейбница. Сколькими методами он может распределить по денькам работу, если будет сажать более 1-го дерева в денек?

Задачка 150. Сколько существует четырехзначных чисел (может быть, начинающихся с нуля), сумма цифр которых равна 5?

Задачка 151.Сколькими методами можно разбить группу из 25 студентов на три подгруппы А, В и С по 6, 9 и 10 человек соответственно?

Задачка 152.Сколько Формула Ньютона-Лейбница существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в каких цифра 4 повторяется 3 раза, а числа 5 и 6 – по 2 раза?

Задачка 153. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова возможность, что все три фрукта – апельсины?

Задачка 154. Педагог предлагает каждому из 3-х студентов замыслить хоть какое число от 1 до 10. Считая Формула Ньютона-Лейбница, что выбор каждым из студентов хоть какого числа из данных равновозможен, отыскать возможность того, что у кого-либо из их задуманные числа совпадут.

Задачка 155. Отыскать возможность того, что в 8-значном числе ровно 4 числа совпадают, а другие различны.

Задачка 156. 6 клиентов случайным образом обращаются в 5 компаний. Отыскать возможность того, что хотя бы Формула Ньютона-Лейбница в одну фирму никто не обратится.

Задачка 157. Пусть в урне имеется N шаров, из их М белоснежных и N–M темных. Из урны извлекается n шаров. Отыскать возможность того, что посреди их окажется ровно m белоснежных шаров.

Задачка 158.Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова возможность ее попадания в отрезок [0,5; 1,4]?

Задачка 159(задачка Формула Ньютона-Лейбница о встрече). Два лица А и В договорились повстречаться в определенном месте меж 12 и 13 часами. Пришедший первым ожидает другого в течении 20 минут, после этого уходит. Чему равна возможность встречи лиц А и В, если приход каждого из их может произойти наудачу в течении обозначенного часа и моменты Формула Ньютона-Лейбница прихода независимы?

Задачка 160. В ящике 10 бардовых и 5 голубых пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова возможность, что пуговицы будут одноцветными?

Задачка 161. Посреди служащих компании 28% знают британский язык, 30% – германский, 42% – французский; британский и германский – 8%, британский и французский – 10%, германский и французский – 5%, все три языка – 3%. Отыскать возможность того, что случаем избранный сотрудник компании Формула Ньютона-Лейбница: а) знает британский либо германский; б) знает британский, германский либо французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Задачка162.В семье – двое деток. Какова возможность, что старший ребенок – мальчишка, если понятно, что в семье есть детки обоего пола?

Задачка 163. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – необычных, инспектирует детали одну за другой, пока Формула Ньютона-Лейбница ему не попадется стандартная. Какова возможность, что он проверит ровно две детали?

Задачка 164.В одном ящике 3 белоснежных и 5 темных шаров, в другом ящике – 6 белоснежных и 4 темных шара. Отыскать возможность того, что хотя бы из 1-го ящика будет вытащат белоснежный шар, если из каждого ящика вынуто по Формула Ньютона-Лейбница одному шару.

Задачка 165. Три экзаменатора принимают экзамен по некому предмету у группы в 30 человек, при этом 1-ый опрашивает 6 студентов, 2-ой — 3 студентов, а 3-ий — 21 студента (выбор студентов делается случайным образом из перечня). Отношение 3-х экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого педагога равны 40%, у второго — только 10%, у третьего Формула Ньютона-Лейбница — 70%. Отыскать возможность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.

Задачка 166. Компания имеет три источника поставки девайсов – компании А, B, С. На долю конторы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики понятно, что посреди поставляемых компанией А деталей 10% бракованных, компанией В – 5% и компанией С Формула Ньютона-Лейбница – 6%. Какова возможность, что взятая наобум деталь окажется пригодной?

Задачка 167 (см. задачку 6). Пусть понятно, что студент не сдал экзамен, т.е. получил оценку «неудовлетворительно». Кому из 3-х педагогов скорее всего он отвечал?

Задачка 168. Игральная кость брошена 6 раз. Отыскать возможность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».

Задачка 169. Монета кидается 6 раз. Отыскать возможность Формула Ньютона-Лейбница того, что герб выпадет менее, чем 2 раза.

Задачка 170. Аудитор обнаруживает денежные нарушения у проверяемой компании с вероятностью 0,9. Отыскать возможность того, что посреди 4 фирм-нарушителей будет выявлено более половины.

Вариант 171

Делается три независящих опыта, в каждом из которых событие А возникает с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – частота возникновения действия Формула Ньютона-Лейбница А в трёх опытах. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X.

Вариант 172

При разыгрывании некой лотереи наудачу покупается три билета. Рассматривается случайная величина X – число избранных билетов с выигрышем. Возможность выигрыша на каждый билет равна 0,2. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X.

Вариант 173

Из партии деталей наудачу отбирают 3 детали. Рассматривается Формула Ньютона-Лейбница случайная величина X – число избранных необычных деталей. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X, если возможность того, что деталь окажется необычной, равна 0,1.

Вариант 174

В ящике находятся белоснежные и чёрные шары. Из ящика наудачу вынимаются 4 шара. Рассматривается случайная величина X – количество возникновения белоснежных шаров. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X, если возможность возникновения белоснежного Формула Ньютона-Лейбница шара равна 0,4.

Вариант 175

По мишени делается 4 выстрела, причём возможность промаха при каждом выстреле равна 0,01. Рассматривается случайная величина X – количество промахов по мишени. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X.

Вариант 186

Рыбак забросил спиннинг 3 раза, причём возможность того, что рыбак изловил рыбу, при каждом забрасывании равна 0,6. Рассматривается случайная величина Формула Ньютона-Лейбница X – число пойманных рыб. Найдите закон рассредотачивания.

Вариант 187

Монета подбрасывается 5 раз. Рассматривается случайная величина X – число возникновений «решётки». Найдите закон рассредотачивания случайной величины X.

Вариант 188

Из партии изделий наудачу выбираются 3 изделия. Рассматривается случайная величина X – количество избранных изделий с браком. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X, если возможность возникновения брака Формула Ньютона-Лейбница равна 0,6.

Вариант 189

Имеются три лампы, любая из которых с вероятностью имеет недостаток. При ввинчивании в патрон дефектная лампа сходу перегорает, тогда и ввинчивается последующая. Рассматривается случайная величина X – число ввинченных ламп. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X.

Вариант 190

При разыгрывании некой лотереи наудачу покупается 5 билетов. Рассматривается случайная Формула Ньютона-Лейбница величина X – число избранных билетов с выигрышем. Возможность выигрыша на каждый билет равна 0,01. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X.

Вариант 191

Рыбак забросил спиннинг 4 раза, причём возможность того, что рыбак изловил рыбу, при каждом забрасывании равна . Рассматривается случайная величина X – число пойманных рыб. Найдите закон рассредотачивания.

Вариант 192

Из урны, содержащей кубики и шары Формула Ньютона-Лейбница, наобум вынимается 4 предмета. Рассматривается случайная величина X – число возникновения кубиков. Найдите закон рассредотачивания случайной величины X, если возможность возникновения кубиков равна .

Вариант 193


forum-velikie-reki-2013-projdet-v-nizhegorodskoj-oblasti-s-15-po-18-maya-rossijskaya-blagotvoritelnost-v-zerkale-smi.html
foruma-festivalya-v-2017-godu.html
foruma.html