Формула применяется слева направо

Примеры

Пример 1. Найдем интеграл

∫ x · ex dx.

Решение.

Представим данный интеграл в виде

∫ x · (ex ) ' dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V '(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U '(x) · V(x) dx

с U(x) = x и V(x) = ex , получаем:

∫ x · ex dx = x · ex − ∫ ex dx = x · ex − ex Формула применяется слева направо + C.

Можно поступить по другому.

Подведем в исжодном интеграле функцию ex под символ дифференциала. Получим

∫ x · ex dx = ∫ x dex.

Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования по частям

∫ U(x) dV(x) = U(x) · V(x) − ∫ V(x) dU(x)

с U(x) = x и V(x) = ex , получаем:

∫ x dex = x · ex Формула применяется слева направо − ∫ ex dx = x · ex − ex − C.

Пример 2. Найдем интеграл

∫ x2 · ex dx.

Решение.

Представим данный интеграл в виде

∫ x2 · (ex )' dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx

с U(x) = x2 и V(x) = ex , получаем:

∫ x Формула применяется слева направо2 · ex dx = x2 · ex − 2 ∫ x · ex dx. (1)

2. Последний интеграл в (1) интегрируем по частям, полагая U(x) = x , V(x) = ex . Получаем:

∫ x · ex dx = x · ex − ∫ ex dx = x · ex − ex − C.

3. Используя этот итог в (1), получаем

∫ x2 · ex dx = x2 · ex − 2x · ex + 2ex + C1,

где C1 = 2C — случайная неизменная.

Заметим Формула применяется слева направо, что в процессе нахождения неопределенного интеграла функция x2 подверглась двухкратному дифференцированию, а функция ex — двухкратному интегрированию.

Пример 3. Найдем интеграл

∫ ln(x) dx.

Решение.

Применяя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) dV(x) = U(x) · V(x) − ∫ V(x) dU(x)

с U(x) = ln(x) и V(x) = x , получаем:

∫ ln Формула применяется слева направо(x) dx = ln(x) · x − ∫ x dln(x).

Последний интеграл просто отыскать:

∫ x dln(x) = ∫ x
x

dx = x + C.

Потому

∫ ln(x) dx = x · ln(x) − x − С.

Пример 4. Найдем интеграл

∫ ex · cosx dx.

Решение.

1. Представим данный интеграл в виде

∫ ex · (sinx)' dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V Формула применяется слева направо'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx

с U(x) = ex и V(x) = sinx , получаем:

∫ ex · (sinx)' dx = ex · sinx − ∫ (ex)' · sinx dx. (2)

2. Последний интеграл представим в виде

∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx

и применим формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V'(x) dx Формула применяется слева направо = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx

с U(x) = ex и V(x) = cosx . Получаем

∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx = − ex · cosx + ∫ (ex)' · cosx dx = − ex · cosx + ∫ ex · cosx dx (3)

3. Сопоставляя (2) и (3), получаем:

∫ ex · cosx dx = ex · sinx + ex · cosx − ∫ ex · cosx dx .

Прибавляя к обеим частям этого Формула применяется слева направо равенства ∫ ex · cosx dx и беря во внимание, что ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx равно не нулю, а случайной неизменной C , имеем:

2 ∫ ex · cosx dx = ex · sinxex · cosx + C.

Потому

∫ ex · cosx dx =
ex · sin x + ex · cos x

+ C1 ,

где C1 = C/2 — случайная неизменная.

Заметим, что Формула применяется слева направо при выполнении тождественных преобразований нередко молвят: “перенесем слагаемое в левую часть с конфигурацией знака”. Но такового математического деяния нет. Есть прибавление к обеим частям равенства 1-го и такого же слагаемого.

Если к обеим частям равенства A + B = C + D прибавить −D, то получим A + B − D = C + D − D , и если Формула применяется слева направо D − D = 0 , то деиствительно выходит равенство A + B − D = C , в котром, по сопоставлению с начальным равенством A + B = C + D , слагаемое D оказалось перемещенным из правой части в левую с конфигурацией знака. Но если D неопределенный интеграл, то D − D равно не нулю, а случайной Формула применяется слева направо неизменной функции !

Пример 1

Отыскать неопределенный интеграл.

Классика. Временами данный интеграл можно повстречать в таблицах, но воспользоваться готовым ответом не нужно, потому что у педагога вешний авитаминоз и он очень заругается. Потому-что рассматриваемый интеграл никак не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежные разъяснения.

Используем формулу интегрирования по Формула применяется слева направо частям:

Формула применяется слева вправо

Смотрим на левую часть: . Разумеется, что в нашем примере (и во всех других, которые мы разглядим) что-то необходимо обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа завсегда обозначается логарифм.

На техническом уровне оформление решения реализуется последующим образом, в столбик записываем Формула применяется слева направо:

Другими словами, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Последующий шаг: находим дифференциал :

Дифференциал – это практически то же самое, что и производная, как его отыскивать, мы уже разбирали на прошлых уроках.

Сейчас находим функцию . Для того чтоб отыскать функцию нужно проинтегрировать правую часть нижнего равенства :

Сейчас открываем наше решение и конструируем Формула применяется слева направо правую часть формулы: .
Вот кстати, и эталон чистового решения с маленькими пометками:


Единственный момент, в произведении я сходу переставил местами и , потому что множитель принято записывать перед логарифмом.

Видите ли, применение формулы интегрирования по частям, на самом деле дела, свело наше решение к двум обычным интегралам.

Направьте Формула применяется слева направо внимание, что в ряде всевозможных случаев сходу после внедрения формулы, под оставшимся интегралом непременно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы уменьшили подынтегральное выражение на «икс».

Выполним проверку. Для этого необходимо взять производную от ответа:

Получена начальная подынтегральная функция, означает, интеграл решён верно.

В процессе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это Формула применяется слева направо не случаем.

Формула интегрирования по частями формула– это два взаимно оборотных правила.

Пример 2

Отыскать неопределенный интеграл.

Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.
Решаем.

Я очередной раз тщательно распишу порядок внедрения правила, в предстоящем примеры будут оформляться более коротко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном Формула применяется слева направо решении, необходимо возвратиться назад к первым двум примерам урока.

Как уже говорилось, за нужно обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Записываем в столбик:

Поначалу находим дифференциал :

Тут применено правило дифференцирования сложной функции . Не случаем, на самом первом уроке темы Неопределенный Формула применяется слева направо интеграл. Примеры решений я акцентировал внимание на том, что для того, чтоб освоить интегралы, нужно «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз.

Сейчас находим функцию , для этого интегрируем правую часть нижнего равенства :

Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу

Сейчас всё готово для внедрения формулы Формула применяется слева направо . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в согласовании с правой частью :

Под интегралом у нас опять многочлен на логарифм! Потому решение снова прерывается и правило интегрирования по частям применяется 2-ой раз. Не забываем, что за в схожих ситуациях всегда обозначается логарифм.

Неплохо бы, если к данному моменту простые интегралы Формула применяется слева направо и производные Вы умели отыскивать устно.

(1) Не путаемся в знаках! Очень нередко тут теряют минус, также направьте внимание, что минус относится ко всей скобке , и эти скобки необходимо корректно раскрыть.

(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.

(3) Берем последний интеграл.

(4) «Причесываем» ответ.

Необходимость два раза (а то и три раза) использовать правило Формула применяется слева направо интегрирования по частям появляется не так и изредка.

А на данный момент пара примеров для самостоятельного решения:

Пример 3

Отыскать неопределенный интеграл.

Этот пример решается способом подмены переменной (либо подведением под символ дифференциала)! А почему бы и нет – сможете испытать взять его по частям, получится смешная вещь.

Пример 4

Отыскать неопределенный Формула применяется слева направо интеграл.

А вот этот интеграл встраивается по частям (обещанная дробь).

Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока.

Как бы в примерах 3,4 подынтегральные функции похожи, а вот способы решения – различные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если некорректно подобрать способ решения интеграла, то возиться с Формула применяется слева направо ним можно часами, как с самой истинной головоломкой. Потому чем больше вы прорешаете разных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. Не считая того, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без опыта решения интегралов и производных делать там нечего.

По логарифмам, пожалуй, более чем довольно Формула применяется слева направо. На закуску могу еще вспомнить, что студенты-технари логарифмами именуют женскую грудь =). Кстати, полезно знать графики главных простых функций: синуса, косинуса, арктангенса, экспоненты, многочлена четвертой степени и т.д. Нет, презерватив на глобус я натягивать не буду, но вы все прочитаете мой пост Графики и характеристики простых функций Формула применяется слева направо =).


foto-evgeniya-karmaeva-borisa-metcgera-i-iz-lichnogo-arhiva-l-doroninoj.html
foto-i-video-httpsyadiskdwsftf01v3myzbf.html
foto-kvesta-yamshickie-istorii.html