Формулы сложения вероятностей - реферат

.

Из пт 2 теоремы, по которой вводилось определение вероятности действия, следует, что если A1 и A2 несовместные действия, то

P( ) = P(A1 ) + P(A2 )

Если A1 и A2 — совместные действия, то =(A1 \A2 ) , при этом разумеется, что A1 \A2 и A2 — несовместные действия. Отсюда следует:

P( ) = P(A1 \A2 ) + P Формулы сложения вероятностей - реферат(A2 ) (*)

Дальше разумеется: A1 =(A1 \A2 ) , при этом A1 \A2 и – несовместные действия, откуда следует: P(A1 ) = P(A1 \A2 ) + P( ) Найдем из этой формулы выражение для P(A1 \ A2 ) и подставим его в правую часть формулы (*). В итоге получим формулу сложения вероятностей:

P( )= P(A1 ) + P(A2 ) – P( )

Из последней Формулы сложения вероятностей - реферат формулы просто получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив = Æ.

Пример 1. Отыскать возможность вынуть туза либо червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.

Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;

Р(ТУЗЧЕРВЕЙ )=1/32;

Р(( ТУЗ ) (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 – 1/32 =11/32

Такого же результата можно было достигнуть при помощи традиционного Формулы сложения вероятностей - реферат определения вероятности, пересчитав число подходящих исходов.

Условные вероятности.

Разглядим задачку. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Понятно, что студент на экзамене вынул билет с номером, не превосходящим 20. Какова возможность, что студент вынул выученный билет?

Определим место простых исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А состоит Формулы сложения вероятностей - реферат в том, что студент вынул выученный билет: А=(1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вынул билет из первых 20: В=(1,2,3,...,20)

Событие состоит из 5 исходов: (1,2,3,4,5), и его возможность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это возможность действия B. Число 5/20 можно рассматривать как возможность действия А при Формулы сложения вероятностей - реферат условии, что событие В вышло (обозначим её Р(А/В)). Таким макаром, решение задачки определяется формулой

Р(А/В) = P(АÇВ) /Р(B) (1)

Р(А/В) именуется условной вероятностью действия A при условии, что событие В вышло. Формулу (1) можно рассматривать, как определение условной вероятности. Эту же формулу можно Формулы сложения вероятностей - реферат переписать в виде

P(АÇВ)=Р(А/В)Р(B) (2)

Формула (2) именуется формулой умножения вероятностей (аксиомой умножения вероятностей), а условная возможность Р(А/В) тут должна восприниматься просто по смыслу.

Пример 2. Из урны, содержащей 7 белоснежных и 3 темных шаров, наудачу один за одним извлекают (без возвращения) два шара. Какова возможность Формулы сложения вероятностей - реферат того, что 1-ый шар будет белоснежным, а 2-ой черным?

Пусть X – событие, состоящее в извлечении первым белоснежного шара, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым темного шара. Тогда – событие, заключающееся в том, что 1-ый шар будет белоснежным, а 2-ой — черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная возможность извлечения вторым темного шара Формулы сложения вероятностей - реферат, если первым был извлечен белоснежный. Беря во внимание, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P( ) = 7/30

Событие А именуется независящим от действия В (по другому: действия А и В именуются независящими), если Р(А/В)=Р(А). За определение независящих событий можно принять следствие последней формулы и формулы Формулы сложения вероятностей - реферат умножения

P(АÇВ)= Р(А) Р(B)

Обоснуйте без помощи других, что если А и В — независящие действия, то и тоже являются независящими событиями.

Пример 3. Отыскать возможность того, что при трёх бросках игральной кости трижды выпадет шестёрка. Разумеется, что при каждом броске итог не находится в зависимости от результатов прошлых Формулы сложения вероятностей - реферат бросков, и разыскиваемая возможность равна (1/6)3 =1/216.

Определим в критериях этой задачки возможность того, что при трёх бросках в сумме выпало 4 очка. Выпишем подходящие финалы: “1,1,2”, “1,2,1”, “2,1,1”. Возможность каждого из этих исходов равна 1/216. Потому что все эти финалы несовместимы, интересующая нас возможность будет равна 3/216=1/72.

Пример 4. Из колоды карт в 32 листа извлекается одна карта. Пусть А – событие Формулы сложения вероятностей - реферат, состоящее в том, что извлечённая карта – дама. Событие В заключается в том, что извлечённая карта пиковой масти. Разумеется, что Р(А)=4/32=1/8. Вычислим величину возможность того, что извлечённая карта –дама при условии, что эта карта пиковой масти, другими словами Р(А/В). Разумеется, что Р(АÇВ)=1/32, и Формулы сложения вероятностей - реферат Р(В)=8/32. Тогда Р(А/В)=Р(АÇВ)/ Р(В)=1/8, другими словами Р(А)=Р(А/В). Отсюда следует, что действия А и В независимы.

Пусть событие С состоит в том, что извлечённая карта не туз. Покажем, что действия А и С зависимы. Разумеется, что Р(АÇС)=Р(А Формулы сложения вероятностей - реферат)=1/8. Р(С)=28/32=7/8. Отсюда получаем Р(А/С)=1/7, и это не равно величине Р(А), как следует, действия А и С зависимы.

Пример 5. Разглядим задачку, аналогичную задачке из примера 2, но с одним дополнительным условием: вытащив 1-ый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после этого все шары перемешиваем. В этом Формулы сложения вероятностей - реферат случае итог второго извлечения никак не находится в зависимости от того, какой шар – темный либо белоснежный появился при первом извлечении. Возможность возникновения первым белоснежного шара (событие А) равна 7/10. Возможность действия В – возникновения вторым темного шара – равна 3/10. Сейчас формула умножения вероятностей дает: P(АÇВ)=21/100.

Извлечение шаров методом, описанным в Формулы сложения вероятностей - реферат этом примере, именуется подборкой с возвращением либо возвратимой подборкой.

Необходимо подчеркнуть, что если в 2-ух последних примерах положить изначальные количества белоснежных и темных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо не много для возвратимой и невозвратной выборок.

Разглядим некие задачки на применение теорем сложения и Формулы сложения вероятностей - реферат умножения вероятностей.

1. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень либо не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов других стрелков. 1-ый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, 2-ой – с вероятностью 0,8, а 3-ий – с вероятностью 0,7. Отыскать возможность того, что мишень будет поражена?

Вопрос можно поставить по Формулы сложения вероятностей - реферат другому: какова возможность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень? Разумеется, что мишень будет поражена, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые двое стрелков, а 3-ий не попадёт и т. д. Пусть событие А заключается в том, что хотя бы один из стрелков попал Формулы сложения вероятностей - реферат в мишень. Тогда обратное событие состоит в том, что все трое не попали в мишень. Если 1-ый не попадает в мишень с вероятностью 0,1, 2-ой – с вероятностью 0,2, а 3-ий – с вероятностью 0,3, то по аксиоме умножения вероятностей Р( )=0,1×0,2×0,3=0,006. Тогда Р(А)=1–Р( )=0,994.

2. При включении движок начинает работать с вероятностью р. а) Отыскать Формулы сложения вероятностей - реферат возможность того, что движок начнёт работать с второго включения. б) Отыскать возможность того, что для пуска мотора будет нужно менее 2-ух включений.

а) Для того, чтоб движок начал работать со второго включения, необходимо, во-1-х, чтоб он не запустился при первом включении (событие А). Это происходит с вероятностью Формулы сложения вероятностей - реферат 1–р. При втором включении движок запустится (событие В) с вероятностью р. Нас интересует возможность действия АÇВ. Из условия задачки можно осознать, что действия А и В независимы. Отсюда P(АÇВ)=р(1–р).

б) Нас интересует возможность действия, состоящего в том, что движок запустится при первом включении либо при втором Формулы сложения вероятностей - реферат включении. Обратное событие состоит в том, что движок не запустится ни при первом, н при втором включении. Возможность этого обратного действия равна (1–р)2 . Отсюда возможность интересующего нас действия равна 1–(1–р)2 .

3. В семье Ивановых 4 ребёнка. Понятно, что один из деток – мальчишка. Отыскать возможность того, что все малыши –мальчишки. Принять Формулы сложения вероятностей - реферат возможность рождения мальчугана и возможность рождения девченки равными 1/2 и не зависящими от того, какого пола детки уже имеются в семье.

Пусть событие В заключается в том, что все детки в семье – мальчишки, событие А заключается в том, что в семье есть хотя бы один мальчишка (конкретно так мы должны осознавать Формулы сложения вероятностей - реферат условие задачки). Нас интересует величина Р(В/А). Для того, чтоб пользоваться формулой условной вероятности, нужно, во-1-х, вычислить P(АÇВ). В нашем случае событие А является следствием действия В, потому P(АÇВ)=Р(В) (смотри разъяснение к теме 2). По условию задачки Р(В)=(1/2)4 =1/16. Чтоб вычислить Р(А), заметим Формулы сложения вероятностей - реферат, что событие заключается в том, что все детки в семье –девченки. Разумеется, что Р( )=(1/2)4 =1/16. Тогда Р(А)=1–Р( )=15/16. Сейчас можно пользоваться формулой для определения условной вероятности Р(В/А) = P(АÇВ)/Р(А). В итоге выходит Р(В/А)=(1/16)/( 15/16)=1/15.

Если б в условии этой задачки был поставлен вопрос Формулы сложения вероятностей - реферат “чему равна возможность того, что все детки мальчишки, при условии, что 2-ой ребёнок – мальчишка?”, то ответ был бы 1/8.

4. В урне 7 белоснежных и три чёрных шара. Без возвращения извлекаются 3 шара. Понятно, что посреди их есть чёрный шар. Отыскать возможность того, что другие два шара белоснежные.

Пусть событие А заключается Формулы сложения вероятностей - реферат в том, что в выборке есть два белоснежных шара, событие В – в том, что в выборке есть чёрный шар. Всего в условии задачки существует вероятных исходов. Отсюда Р(АÇВ)= . Чтоб вычислить возможность Р(В), заметим, что заключается в том, что все извлечённые шары белоснежные, и Р( )= . Разыскиваемая возможность равна Формулы сложения вероятностей - реферат ( )/(1–)=63/85.

5. Отыскать возможность того, что при бросании трёх игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков при условии, что на всех костях выпали грани с чётным числом очков.

Пусть событие А заключается в том, что хотя бы на одной кости выпало 6 очков, а событие В–в том, что на всех Формулы сложения вероятностей - реферат костях выпало чётное число очков. Вычислим возможность действия АÇВ. Общее число исходов, разумеется равно 63 =216. Одним из подходящих исходов является выпадение 6-ти очков на всех трёх костях. Имеется 6 исходов, состоящих в выпадении шестёрок на 2-ух костях и выпадении чётного числа очков, но не шестёрки на третьей кости. Можно высчитать 12 исходов, когда Формулы сложения вероятностей - реферат на одной кости выпадает шестёрка, а на 2-ух других–чётные числа очков, но не шестёрки. Таким макаром, событию АÇВ способствуют 19 исходов, откуда Р(АÇВ)=19/216. Разумеется, что Р(В)=(1/2)3 =1/8. Разыскиваемая возможность равна (19/216)/(1/8)=19/27.

6. Студент знает 20 из 25 вопросов программки. Зачёт сдан, если студент ответит более чем на 3 из 4-х вопросов в Формулы сложения вероятностей - реферат билете. Взглянув на 1-ый вопрос, студент нашел, что знает его. Какова возможность, что студент сдаст зачёт?

Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;

В – событие, заключающееся в том, что студент знает 1-ый вопрос в билете.

Разумеется, что Р(В) =20/25=4/5. Сейчас нужно найти возможность Р(АÇВ). Из Формулы сложения вероятностей - реферат 25-ти вопросов всего можно составить разных билетов, содержащих 4 вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А и событию В, должны быть составлены последующим образом: или студент знает все вопросы билета (можно составить всего таких билетов), или студент знает 1-ый, 2-ой и 3-ий вопросы, но не знает четвёртого Формулы сложения вероятностей - реферат (можно составить всего 5 таких билетов), или студент знает 1-ый, 2-ой и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5 билетов), или студент знает 1-ый, 3-ий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5 билетов). Отсюда получаем, что

Р(АÇВ) =

Осталось только отыскать разыскиваемую возможность р(А/В):

Р(А/В) =

Задачки для Формулы сложения вероятностей - реферат самостоятельного решения.

1) Обосновать формулу

Р(АÈВÈС)=Р(А)+ Р(В)+Р(С)–Р(АÇВ)–Р(АÇС)–Р(ВÇС)+Р(АÇВÇС)

2) Возможность попасть в самолёт равна 0,4, возможность его сбить равна 0,1. Отыскать возможность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.

3) Из урны, содержащей 6 белоснежных и 4 чёрных шара, наудачу извлекают по Формулы сложения вероятностей - реферат одному шару до возникновения чёрного шара. Отыскать возможность того, что придётся создавать четвёртое извлечение, если подборка делается а)с возвращением; б) без возвращения.

4) а) В критериях задачки 1 отыскать возможность того, что в мишень попали двое стрелков. б) В критериях задачки 1 отыскать возможность того, что в мишень попали более 2-ух Формулы сложения вероятностей - реферат стрелков.

5) По самолёту делается три выстрела. Возможность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при 3-ем–0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при 2-ух–с вероятностью 0,6, при трёх самолёт будет сбит наверное. Какова возможность того, что самолёт будет сбит?

6) В критериях задачки 4 отыскать возможность того, что Формулы сложения вероятностей - реферат на всех костях выпала шестёрка, если понятно, что а) по последней мере, на 2-ух костях выпало однообразное число очков; б) на всех костях выпало однообразное число очков.

7) Бросаются три игральных кости. Какова возможность того, что на какой-то из них выпадет единица, если на всех трёх костях выпали Формулы сложения вероятностей - реферат различные грани?

8) Возможность того, что случайным образом избранный из студенческой группы студент знает британский язык, равна 5/6. Возможность того, что студент знает французский язык, равна 7/12. Возможность того, что студент знает и британский и французский языки, равна 1/2. а) Отыскать возможность того, что студент не знает французского языка при условии, что он не Формулы сложения вероятностей - реферат знает британского. б) Отыскать возможность того, что студент знает французский язык при условии, что он знает британский.

9) Понятно, что при бросании 10 игральных костей выпала хотя бы одна единица. Какова возможность того, что выпало две либо более единиц?

10) Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, при этом 70% всех кинескопов созданы для цветных Формулы сложения вероятностей - реферат телевизоров и 30% – для мониторов. Понятно, что 50% всей продукции отчаливает на экспорт, при этом из общего числа кинескопов, созданных для цветных телевизоров, 40% отчаливает на экспорт. Отыскать возможность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп предназначен для монитора, если понятно, что он будет выслан на экспорт.

11) В ящике лежат Формулы сложения вероятностей - реферат 12 бардовых, 8 зелёных и 10 голубых шаров. Наудачу вынимают два шара. Отыскать возможность того, что будут вынуты шары различного цвета при условии, что не вытащат голубий шар.

Ответы. 2)1/4; 3) а) 0,216; б) 1/6; 4) а) 0,398; б) 0,902; 5) 0,594; 6) а) 1/96; б) 1/6; 7) 0,5; 8) а) 0,5; б) 0,3; 9)1-10×59 /(610 –510 ); 10) 0,44; 11) 48/95.



stat.txt
formirovaniya-kompetencij.html
formirovaniya-motivacii-shkolnikov-vo-vneurochnoj-deyatelnosti.html